Problema [irrisolto] fantastico: i numeri bizzarri dispari

Uno degli attuali problemi irrisolti della matematica è, almeno per me, fantastico nella sua semplicità [e quello qui riportato non è l’unico]. Cerco di esporlo nel modo più facile possibile, come se fosse da spiegare ad un ragazzo della scuola media.

Si definiscono “abbondanti” [su alcuni testi si usa il termine “eccessivi”] i numeri naturali minori della somma dei loro divisori propri [ i divisori propri includono 1 ed escludono il numero stesso].
Per esempio: 12, che è il minimo numero abbondante, è minore della somma dei suoi divisori: 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16.

Si definiscono “semi-perfetti” i numeri naturali che sono uguali alla somma di alcuni (o tutti) suoi divisori. Un caso particolare:quando un numero è uguale alla somma di tutti i suoi divisori [eccetto se stesso] si dice “perfetto“.

Per esempio:
12 è anche semi-perfetto perché  1 + 2 + 3 + 6 = 12
6, oltre che essere semi-perfetto è anche perfetto perché 1 + 2 + 3 = 6

Si definiscono “bizzarri” i numeri abbondanti che non sono pseudoperfetti.  Detto in altri termini: un numero è bizzarro se la somma dei suoi divisori propri è maggiore del numero stesso ma non esiste nessun sottoinsieme di questi divisori la cui somma è uguale al numero stesso.

Per esempio 70 ha come divisori propri 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35. Se sommati danno 74, ma il numero 70 non è ottenibile sommandone alcun sottoinsieme.

I primi 10 numeri bizzarri sono:
70, 836, 4030, 5830, 7192, 7912, 9272, 10430, 10570, 10792

Questa è la lista dei numeri bizzarri inferiori al miliardo:
http://www.bitman.name/media/pdf/upload/tables/bizzarri.txt

Nel 1974 S.J. Benkoski e P. Erdös dimostrarono che sono infiniti.
Non se ne conosce nessuno dispari. Se esistono, sono maggiori di 10^17 (Robert A. Hearn, 2005).

La domanda finale quindi è questa “Esistono numeri bizzarri dispari?”

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7 risposte a Problema [irrisolto] fantastico: i numeri bizzarri dispari

  1. emajoy ha detto:

    Risposta bizzarra e dispari: questo non è l’unico post bizzarro.

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  2. niarb ha detto:

    Avendoci lavorato su Erdös, non può che essere un tema complicatissimo, fuorviante, e deliziosamente folle. 😉

    http://afterfindus.com/2013/11/07/luomo-che-amava-e-che-dava-solo-i-numeri/

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  3. Man from Mars ha detto:

    Com’è che mi era sfuggito questo post? Forse l’influenza di questi giorni…
    Contento di averlo recuperato!
    Bello anche il post su Erdos. Lo avevo “usato” anch’io in passato (numero di Erdos), ma in maniera abbastanza più frivola…

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